© Компанейцев В. П.

ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ИЗОГИРЫ: ЛОЖНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ОСИ
THE STUDY OF THE EQUATION OF ISOGYRE: THE FALSE OPTICAL AXES

       Уравнение изогиры, описывающее связь между координатами точек изогиры и оптических осей, имеет следующий вид:
bx3 + ay3 - ax2y - bxy2 - cx2 - cy2 + 2(d - 2)xy + 2bx + 2ay - 2c = 0,               (1)
где x, y - координаты точек изогиры на гномонической проекции,
a = a1 + a2 - сумма абсцисс оптических осей A1 и A2,
b = b1 + b2 - сумма ординат оптических осей A1 и A2,
c = a1b2 + a2b1 - сумма смешанных (перекрестных) произведений абсцисс и ординат оптических осей,
d = a1a2 + b1b2 - сумма парных произведений абсцисс и ординат оптических осей.

      Это уравнение описывает изогиру как кривую третьего порядка. При ее исследовании выяснилось, что на ней, помимо двух действительных оптических осей, имеются еще две точки, "претендующие" на эту же роль. Если в них разместить оптические оси, то мы получим точно такую же изогиру, какую дают действительные оптические оси. (Здесь имеется ввиду так называемая "нулевая" изогира). Эти точки названы ложными оптическими осями. Они мнимые, т. е. реально несуществующие, но их изучение полезно для лучшего понимания свойств изогиры.

      Рассмотрим свойства ложных оптических осей в следующих разделах:
1. Графическое построение ложных оптических осей.
2. Вывод формул для расчета координат ложных оптических осей.
3. Доказательство принадлежности ложных оптических осей к изогире.
4. Поведение ложных оптических осей при вращении столика микроскопа.
5. Свойства ложных оптических осей.
6. О возможности использования ложных оптических осей для практических целей.
7. Заключение.

1. Графическое построение ложных оптических осей.

      На рис. 1 показана гномоническая проекция оптических осей A1 и A2 для косого сечения двуосного кристалла. Их ориентировка определяется координатами a1, b1 и a2, b2 оптических осей A1 и A2 соответственно. Через точки A1 и A2 проведем линию - след плоскости оптических осей. Перенесем центр координат в точку O', расположенную посредине между этими точками. Через точку O' проведем линию LL' по углом 45° к осям координат. Из точки A1 опустим перпендикуляр на линию LL' и далее продолжим его на расстояние, равное расстоянию от A1 до линии LL'. Полученная таким образом точка A'1 является ложной оптической осью. Аналогичным способом найдена точка A'2, являющаяся второй ложной осью.


Рис. 1. Гномоническая проекция действительных и ложных оптических осей. A1 и A2 - действительные оптические оси; A1A2 - плоскость оптических осей; A'1 и A'2 - ложные оптические оси; OX,OY - оси прямоугольных координат; O'X', O'Y' - координатные оси новой системы координат; LL' - линия, пересекающая центр O' новой системы координат под углом 45° относительно осей координат.



Существует другой, более простой способ построения ложных оптических осей (способ прямоугольника). Из точек A1 и A2 проведем по две прямые, ориентированные под углом 45° к осям координат, до их взаимного пересечения. Будет получен прямоугольник, в противолежащих вершинах которого находятся действительные (A1 и A2) и ложные (A1' и A2') оптические оси.

2. Вывод формул для расчета координат ложных оптических осей.

      Центр новых координат - точка O', расположенная посредине между действительными осями A1 и A2, имеет следующие координаты (в старой системе): x = (a1 + a2)/2, y = (b1 + b2)/2. Новые координаты a1n, b1n, a2n и b2n оптических осей A1 и A2 согласно формулам при параллельном переносе координатных осей будут равны:
ось A1:    a1n = a1 - (a1 + a2)/2;    b1n = b1 - (b1 + b2)/2;
ось A2:    a2n = a2 - (a1 + a2)/2;    b'2n = b1 - (b1 + b2)/2.
      Действительные и ложные оптические оси расположены зеркально-симметрично относительно линии LL' и на равном расстоянии от новых координатных осей O'X' и O'Y'. Поэтому новые координаты ложных оптических осей могут быть определены по новым координатам действительных оптических осей путем простого обмена X на Y и обратно. В результате имеем следующие новые координаты ложных оптических осей A'1 и A'2:
ось A'1:    a'1n = b1 - (b1 + b2)/2,    b'1n = a1 - (a1 + a2)/2;
ось A'2:    a'2n = b2 - (b1 + b2)/2,    b'2n = a2 - (a1 + a2)/2.
      Переходим к старой системе координат, прибавляя к новым координатам координаты точки O'. В старой системе координаты ложной оптической оси A'1 будeт равны:
a'1 = b1 - (b1 + b2)/2,    b'1 = a1 - (a1 + a2)/2;
a'2 = b2 - (b1 + b2)/2,    b'2 = a2 - (a1 + a2)/2.
      После преобразования получены следующие более лаконичные формулы:
a'1 = S/2 - b2;    b'1 = S/2 - a2,         (2)
где S = a1 + a2 + b1 + b2 - сумма координат оптических осей.
      Аналогично для ложной оптической оси A'2 получены следующие формулы:
a'2 = S/2 - b1;    b'2 = S/2 - a1.         (3)
      Эти формулы легко запомнить, если использовать следующее правило: координата ложной оптической оси равна полусумме координат действительных оптических осей минус "дважды противоположную" координату. Под "дважды противоположной" следует понимать ту координату действительных оптических осей, которая противоположна определяемой координате как по букве, так и по нижнему индексу.

3. Доказательство принадлежности действительных и ложных оптических осей к одной и той же изогире.

      Решить эту задачу можно, если рассчитать параметры a, b, с и d уравнения изогиры (1) с учетом координат ложных оптических осей, выраженных через координаты действительных оптических осей (2), (3).
a = a'1 + a'2 = S/2 - b2 + S/2 - b1 = S - b2 - b1 = a1 + a2 + b1 + b2 - b1 - b2 = a1 + a2;
b = b'1 + b'2 = S/2 - a2 + S/2 - a1 = S - a2 - a1 = a1 + a2 + b1 + b2 - a1 - a2 = b1 + b2.
      Таким же образом можно доказать равенство параметров c и d для действительных и ложных оптических осей:
с = a'1 b'2 + a'2 b'1 = (S/2 - b2)(S/2 - b1) + (S/2 - b1)(S/2 - a2) = a1b2 + a2b1;
d = a'1 a'2 + b'1 b'2 = (S/2 - b2)(S/2 - b1) + (S/2 - b1)(S/2 - a2) = a1a2 + b1b2.
      Из приведенных данных видно, что параметры уравнения изогиры для ложных оптических осей имеют те же значения, что и для действительных оптических осей, из чего следует, что они принадлежат к одной и той же изогире.

4. Поведение ложных оптических осей при вращении столика.

      При вращении столика действительные оптические оси движутся по окружности. В отличие от них, ложные оптические оси перемещаются по более сложной траектории.
      Используя "правило прямоугольника" (см. п. 1) для графического построения ложных оптических осей, рассмотрим, как они ведут себя в разных позициях действительных оптических осей.


Рис. 2. Изменение взаимного расположения действительных оптических осей A1, A2 и ложных оптических осей A'1, A'2 при различных углах ω поворота столика микроскопа (гномоническая проекция). Окружность с центром O соответствует границе поля зрения коноскопа.

      В исходной позиции (рис. 2, а) след плоскости оптических осей A1A2 параллелен оси Y (т. е. направлению световых колебаний в одном из николей). Обе оптические оси находятся вне поля зрения. Действительные и ложные оптические оси расположены в противоположных углах квадрата, стороны которого ориентированы под углом 45° к осям координат.
При повороте столика на угол 0° < ω < 45° квадрат "сплющивается" и преобразуется в прямоугольник, стороны которого сохраняют ориентацию под углом 45° к осям координат (рис. 2, б). Ложная оптическая ось A'1 оказывается в поле зрения. Поворот столика на угол ω = 45° приводит к вырождению прямоугольника в прямую линию A'1A'2 и совмещению действительных и ложных оптических осей (рис. 2, в). При продолжении вращения столика преобразование идет в противоположном направлении по схеме "линия → прямоугольник → квадрат" (рис. 2, в, г, д). Последняя фигура образуется при угле поворота столика ω = 90° в позиции, когда след плоскости оптических осей параллелен оси OX.
      Особый интерес представляет позиция, в которой одна из оптических осей совмещена с линией, проходящей через центр O под углом 45° к осям координат (рис. 2, е). В этой позиции на этой же линии оказывается ложная оптическая ось A'1, координаты которой можно определить по формуле Малляра, измерив с помощью окуляр-микрометра расстояние OA'1. Долгота A'1 заранее известна - она равна   -135°.
      Рис. 2 показывает изменение взаимного положения действительных и ложных оптических осей при различных углах поворота столика микроскопа, но он не дает представления об их путях движения при вращении столика. Наглядную картину о траекториях, по которым движутся оптические оси, дает рис. 3. На нем можно видеть, что действительные оптические оси вращаются по круговым "орбитам", ложные оси по эллиптическим "орбитам". Эллипсы имеют одинаковые размеры. Их оси взаимно перпендикулярны. Используя астрономические термины, отметим, что ложные оси, находясь в апогее, оказываются за пределами круговой орбиты дальней оптической оси A2, и, проходя через перигелий, они могут оказаться в поле зрения коноскопа (круг, ограниченный жирной окружностью). Это свойство ложных оптических осей представляет практический интерес для контроля за результатами определения 2V по методу "засечек" (см. раздел 6).

Рис. 3. Траектории движения действительных (A1, A2) и ложных (A'1, A'2) оптических осей в косых сечениях двуосных кристаллов
при повороте столика микроскопа на 360° (гномоническая проекция). а - сечение с 2V = 70°, ρ1 = 35°, ρ2 = 45°, λ2 - λ1 = 125°;
б - сечение с 2V = 65° , λ2 - λ1 = 90° и теми же полярными углами оптических осей, что и на рис 3, e.


      При разности долгот оптических осей λ2 - λ1 = 90° эллипсы, по которым движутся ложные оптические оси, вырождаются в две взаимно перпендикулярные линии, пересекающиеся в центре проекции O (рис. 3, б).
      Рассмотрим более детально условия, при которых траектория движения изогиры проходит через поле зрения коноскопа. Для определения координат ложной оптической оси вращением столика совместим одну из действительных оптических осей с линией, образуещей угол 45° с осями координат и проходящей через центр O (рис. 4, а). Ложная оптическая ось A'1 также окажется на этой линии, так как все стороны прямоугольника A1A'1A2A'2 ориентированы также под углом 45° относительно осей координат.

Рис. 4. Определение координат ложной оптической оси (гномоническая проекция). а - сечение, в котором разность долгот оптических осей λ2 - λ1 > 90°;   б - сечение, в котором разность долгот оптических осей λ2 - λ1 = 90°.   A1, A2 - оптические оси;   A'1, A'2 - ложные оптические оси;   ρ1, ρ2 - полярные углы оптических осей A1 и A2;  λ1, λ2 - долгота оптических осей A1 и A2;   ρ'1 - полярный угол ложной оптической оси A'1;   ρк - угловой радиус поля зрения (полярный угол края поля зрения).

      В прямоугольном треугольнике A2OA'1 угол ∠A2OA'1 равен 180° минус угол ∠A1OA2, равный разности долгот оптических осей λ2 - λ1 или λ2 - 45°. Следовательно,
A2OA'1 = 180° - (λ2 - λ1).

      Примечание. Угол λ2 - λ1 - это угол между проекциями главных сечений индикатрисы OA1 и OA2. Он при вращении столика, как и полярные углы оптических осей ρ1 и ρ2, остается постоянным.

      В прямоугольном треугольнике A2OA'1 катет OA'1 = равен гипотенузе OA2 умноженной на косинус угла ∠A2OA'1:
tgρ'1 = tgρ2 cos[180° - (λ2 - λ2)] = tgρ2 [-cos(λ2 - λ1)].         (4)
Знак косинуса в этой формуле может быть положительным или отрицательным. На него не следует обращать внимание и всегда считать результат расчета положительным (полярный угол не может иметь отрицательное значение).
      По формуле (4), зная разность долгот оптических осей и полярный угол оптической оси, можно рассчитать полярный угол соответствующей ей ложной оптической оси.
      На рис. 4, б показано сечение, в котором разность долгот оптических осей равна 90°. В таких сечениях ложные оптические оси при совмещении оптической оси с "линией 45°" находятся в центре проекции. Как наглядно видно на рисунке, можно придавать любые значения полярным углам ρ1 и ρ2, но от этого ситуация не изменится - ложная оптическая ось будет находиться в центре поля зрения. Такому сечению соответствует прямая траектория движения ложных осей, показанная на рис. 3, б.
      Из формулы (4) заменой tgρ'1 на tgρк получена следующая формула для расчета предельных значений полярного угла и разности долгот оптических осей, превышение которых приводит к уходу ложной оптической оси из поля зрения:

где ρк - угловой радиус поля зрения коноскопа.
      По этой формуле произведен расчет данных для построения диаграммы (рис. 5), по которой можно, зная полярный угол оптической оси и разность долгот оптических осей, определить местоположение ложной оптической оси: в поле зрения (ниже граничной линии на диаграмме) или за его пределами (выше граничной линии). Три граничные линии соответствуют угловому радиусу поля зрения, равному 25, 30, 35°.










Рис. 5. Диаграмма для определения местоположения ложной оптической оси при различных значениях углового радиуса поля зрения ρк.   ρ - полярный угол оптической оси; λ2 - λ1 - разность долгот оптических осей.










      На диаграмме видно, что что при λ2 - λ1 = 90° при любых значениях полярного угла оптических осей ложные оптические оси будут находиться в поле зрения, что подтверждает аналогичный вывод, сделанный после просмотра рис. 4, б. Наиболее благоприятными для поиска ложных оптических осей являются сечения с λ2 - λ1 = от 60 до 120°, наименее благоприятными сечения с острыми (от 0 до 30°) и тупыми (от 150 до 180°) углами λ2 - λ1.
      В зависимости от соотношения значений углов ρ1, ρ2 и λ2 - λ1 в поле зрения могут либо отсутствовать, либо присутствовать одна или две ложные оптические оси.
      Если в поле зрения находятся обе оптические оси, то связанные с ними ложные оптические оси также доступны для наблюдения.

5. Свойства ложных оптических осей.

      В предыдущем разделе были рассмотрены поведение ложных оптических осей при вращении столика и их взаимоотношения с действительными оптическими осями. Ниже будут описаны другие свойства ложных оптических осей.
    1. Обратная совместимость ложных и действительных оптических осей. Если в точки, где расположены ложные оптические оси, переместить действительные оптические оси, то "нулевая" изогира не изменит своего положения, а ложные оптические оси "перекочуют" на бывшее место настоящих осей (свойство обратимости действительных и ложных оптических осей). Формулы (2) и (3) пригодны для выполнения обратной операции - расчета координат действительных оптических осей по известным координатам ложных оптических осей. Для этого в указанных формулах достаточно поменять местами буквенные обозначения координат оптических осей на обратные или, говоря более конкретно, убрать знаки "прим" ( ′ ) и добавить их к буквенным обозначениям, где они отсутствуют.
    2. Постоянство угла между ложными оптическими осями. Угол между ложными оптическими осями постоянен и равен 2V при любом угле поворота столика. Полярные углы и разность долгот действительных оптических осей не меняется при повороте столика, а потому угол оптических осей остается постоянным. Ложные оптические оси при вращении столика, двигаясь по эллиптическим орбитам, меняют свои полярные углы и долготы таким образом, чтобы угол между ними оставался равным 2V при любом угле поворота столика.
    3. Неизменность ориентировки сторон прямоугольника к осям координат под углом 45° к осям координат, в углах которого находятся действительные и ложные оптические оси. Это свойство позволяет определить координаты ложной оптической оси в позиции совмещения действительной оптической оси с линией 45°.Если оптическую ось вращением столика совместить с линией, проходящей через центр поля зрения под углом 45° к осям координат, то ложная оптическая ось будет находиться в точке пересечения изогиры с этой линией.
    4. Эллиптическая траектория движения ложных оптических осей при вращении столика микроскопа. Благодаря этому свойству ложные оптические оси могут находиться в поле зрения даже в тех случаях, когда действительные оптические оси находятся вне поля зрения.
      Свойства 3 и 4 оказываются полезными для использования ложных оптических осей в практических целях (см. следующий раздел).

6. О возможности использования ложных оптических осей для практических целей.

      Вопреки своему названию ложные оптические оси несут полезную информацию. Зная их координаты, можно проконтролировать результаты определения угла 2V по методу "засечек". Как это сделать - поясним на конкретном примере.
      Пример расчета координат ложной оптической оси. Методом "засечек" определены следующие сферические координаты оптических осей:
     Полярный угол, ρ                  Долгота, λ
A1:             35°                                    30°
A2:             50°                                    150°
      Совмещаем оптическую ось A2 с линией 45° в 1-м квадранте, для чего необходимо повернуть столик на угол ω = 150 - 45 = 105° (рис. 6). После этого координаты оптических осей будут равны:
ρ1 = 35, λ1 = 30° - 105° = -75°;
ρ2 = 50, λ2 = 150° - 105° = 45°.

      Пересчитаем сферические координаты в гномонические, используя формулы, приведенные в статье "Формулы для пересчета сферических и прямоугольных координат":
a1 = tgρ1 cosλ1 = tg35° cos(-75°) = 0,1812;
b1 = tgρ1 sinλ1 = tg35° sin(-75°) = -0,6763;
a2 = tgρ2 cosλ2 = tg50° cos45° = 0,8427;
b2 = tgρ2 sinλ2 = tg50° sin45° = 0,8427.


Рис. 6. Оценка погрешности определения угла 2V с использованием ложной оптической оптической оси A'1 (гномоническая проекция). A1 и A2 - действительные оптические оси; A'1 и A'2 - ложные оптические оси; A"1 - фактическое положение ложной оптической оси A'1; 1 скорректированное положение действительной оптической оси A1.



      Рассчитываем полусумму координат оптических осей:
S/2 = (a1 + b1 + a2 + b2)/2 = (0,1812 - 0,6763 + 0,8427 + 0,8427)/2 = 0,5952.

      По формулам (2) и (3) рассчитываем координаты ложных оптических осей:
a'1 = S/2 - b2 = 0,5952 - 0,8427 = -0,2475;
b'1 = S/2 - a2 = 0,5952 - 0,8427 = -0,2475;
a'2 = S/2 - b1 = 0,5952 - (-0,6763) = 1,2715;
b'2 = S/2 - a1 = 0,5952 - 0,1812 = 0,414.
      Гномонические координаты ложных оптических осей пересчитываем в сферические координаты по формуле:



      Аналогичный расчет для ложной оптической оси A'2 дает ρ'2 = 53°.
Для объектива 60x угловой радиус поля зрения не превышает 35°.       Следовательно, ложная оптическая ось A'1 находится в поле зрения, а ось A'2 за его пределами.
      Итак, мы определили полярный угол ρ'1 для ложной оптической оси A'1 по координатам оптических осей, рассчитанных по методу "засечек". Далее нужно сравнить теоретически рассчитанное и фактическое положение ложной оптической оси A'1. Для этого с помощью окуляр-микрометра определяют расстояние OA"1 от центра O до изогиры (рис. 4) и по формуле Малляра рассчитывают фактическое значение ρ'1. Рассчитанное и фактическое значения ρ'2 могут отличаться, как это показано на рисунке, на некоторую величину A'1A"1. Проектируя A"1 на плоскость оптических осей, мы получим уточненное положение оптической оси A1 (точка 1). Величина A1 1 характеризует погрешность определения 2V. Можно рассчитать точное значение этой погрешности, но, чтобы не усложнять задачу, примем, что она примерно равна A'1A"1, т. е. расхождению полярных углов расчетного и фактического положения ложной оптической оси A'1. Если это расхождение не превышает 2-3°, то разультаты определения 2V можно считать надежными. При нечеткой, расплывчатой изогиры, а также при сильно косом угле между изогирой и линейкой окуляр-микрометра, допустимо расхождение до 5°.

7. Заключение.

       У читателя может возникнуть вопрос: что же представляют собой ложные оптические оси? Соответствуют ли им какие-либо кристаллоптические или кристаллографические направления? Ответ отрицательный - такого соответствия нет. Доказательство простое: любое направление в кристалле отображается на проекции в виде точки, которая при вращении столика движется по кругу. Траектория ложных оптических осей в виде эллипса указывает на отсутствие связи ложных оптических осей с каким-либо направлением в кристалле.
      Ложные оптические оси можно рассматривать как "тень" или зеркальное отображение действительных оптических осей. На это указывает и способ их графического построения в качестве зеркально-симметричных точек относительно действительных оптических осей.
      Хотя физически ложные оптические оси реально не существуют и являются только "тенью" действительных осей, они представляют определенный интерес при исследовании кристаллов в коноскопе. Подобно тому, как по тени, зная азимут и высоту Солнца над горизонтом, можно определить местоположение объекта, отбрасывающего тень, так и в коноскопе, определив координаты ложных оптических осей, можно рассчитать координаты действительных оптических осей. Но здесь возникает трудноразрешимая проблема: определение координат ложных оптических осей непосредственно в коноскопе возможно только при условии, если известна долгота действительных оптических осей. Поэтому рассчитывать на самостоятельное определение 2V по ложным оптическим осям пока нет оснований. Но они, как показано в разделе 6 , могут быть полезными для контроля результата определения угла оптических осей методом "засечек" или каким-либо другим методом.


К началу страницы

На главную страницу