© Компанейцев В. П.
ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ИЗОГИРЫ: КАСАТЕЛЬНЫЕ К "НУЛЕВОЙ" ИЗОГИРЕ

THE STUDY OF THE EQUATION OF ISOGYRE: TANGENTS TO ZERO ISOGYRE

1. Вывод формулы для расчета углового коэффициента касательной в произвольной точке изогиры.
2. Определение углового коэффициента касательной в центре координат в стандартной позиции оптических осей.
3. Определение углового коэффициента касательной в точках пересечения изогиры с осями координат.
4. Определение угла оптических осей по методу "засечек" с использованием позиции "касательная к изогире перпендикулярна к оси координат".
5. Заключение.

  Перед чтением статьи предварительно сделаем некоторые пояснения.
  "Нулевая" изогира - линия в поле зрения коноскопа, все точки которой теоретически имеют нулевую интенсивность света. Реально наблюдаемая в коноскопе изогира - это не линия, а темная фигура, занимающая определенную площадь. "Нулевая" изогира располагается внутри реальной изогиры и о ее местонахождении мы можем судить только приблизительно, умозрительно проведя линию, равноудаленную от сторон изогиры.
  "Нулевая" изогира является частью реальной изогиры. Для нее имеется уравнение, поддающееся изучению методами математического анализа. Ее свойства обоснованно могут быть распространены на реальную изогиру.
  В статье выведены формулы для расчета углового коэффициента касательной к "нулевой" изогире. Касательная - это прямая линия, как следует из ее названия, касающаяся кривой линии в одной точке. Она характеризует скорость изменения функции в данной точке, графически оцениваемое по крутизне кривой. Угловой коэффициент касательной K определяется как предел отношения приращения функции Δy / Δx при Δx → 0. Угловой коэффициент K = tg α, где α - угол, образуемый касательной с осью X.

1. Вывод формулы для расчета углового коэффициента касательной в произвольной точке изогиры.

  Гномоническое уравнение изогиры, описывающее связь между координатами точек изогиры и оптических осей, имеет следующий вид:
bx3 + ay3 - ax2y - bxy2 - cx2 - cy2 + 2(d - 2)xy + 2bx + 2ay - 2c = 0,

где x, y - координаты точек изогиры на гномонической проекции,
a = a1 + a2 - сумма абсцисс оптических осей A1 и A2,
b = b1 + b2 - сумма ординат оптических осей A1 и A2,
c = a1b2 + a2b1 - сумма смешанных (перекрестных) произведений абсцисс и ординат оптических осей,
d = a1a2 + b1b2 - сумма парных произведений абсцисс и ординат оптических осей.

  Используя прием, принятый для дифференцирования неявных функций, каким является уравнение изогиры, получим:
3bx2 ∂x - a (2xy ∂x + x2 ∂y) - b (y2 ∂x + 2xy ∂y) + 3ay2 ∂y - 2cx ∂x + 2d (xd ∂y + y ∂x) - 2cy ∂y + 2b ∂x + 2 a∂y = 0,
откуда найдем:
      
  В формуле (1) дифференциал ∂x/∂y соответствует производной, равной угловому коэффициенту Kgn касательной к изогире в точке с гномоническими координатами x, y. По этой формуле можно рассчитать угловой коэффициент K (наклон) касательной для любой точки изогиры с известными гномоническими координатами.
  Пример 1. Рассчитать угловой коэффициент касательной к изогире в точке, соответствующей ближней оптической оси, для сечения двуосного кристалла, в котором оптические оси имеют следующие сферические координаты:
  ось A1 - полярный угол ρ1 = 35°, долгота λ1 = 70°;
  ось A2 - полярный угол ρ2 = 70°, долгота λ2 = 110°.
  cos2V = cos ρ1 cos ρ2 + sin ρ1 sin ρ2 cos (λ2 - λ1) = 0,6931; 2V = 46°.
  Гномонические координаты оптических осей равны:
a1 = tg ρ1 cos λ1 = tg 35° cos 70° = 0,2395;
b1 = tg ρ1 cos λ1 = tg 35° sin 70° = 0,6580;
a2 = tg ρ2 cos λ2 = tg 70° cos 110° = -0,9397;
b2 = tg ρ2 cos λ2 = tg 70° sin 110° = 2,5818.
  Рассчитываем параметры уравнения изогиры:
a = a1 + a2 = 0,2395 - 0,9397 = -0,7002;
b = b1 + b2 = 0,6580 + 2.5818 = 3,2398;
с = a1b2 + a2b1 = 0,2395 · 2,5818 + (-0,9397) · 0,6580 = 0;
d = a1a2 + b1b2 = 0,2395 · (-0,9397) + 0,6580 · 2,5818 = 1,4737.

  Нулевое значение параметра c указывает на стандартную позицию оптических осей, в которой изогира проходит через начало координат (рис. 1).

Рис. 1. Наклон касательных "нулевой" изогиры при различных углах поворота столика (ортогональная проекция). A1 - ближняя оптическая ось;
X, Y - оси координат; ω - угол поворота столика. Угловой радиус поля зрения
ρк = 30°. Штрихи на осях координат проведены через 5°.


  Чтобы найти угловой коэффициент касательной в какой-либо точке изогиры, нужно с помощью программы "Расчет координат изогиры" (файл coorisog.exe) определить ординату y ее точки по заданному значению абсциссы x. В нашем примере использование указанной программы не потребуется, так как нужно определить угловой коэффициент касательной в точке выхода оптической оси, координаты которой известны.
  Принимаем x = a1 = 0,2395, y = b1 = 0,658. Подставляя эти значения x, y и параметры уравнения a, b, c и d в формулу (1), получим угловой коэффициент Kgn касательной к изогире в точке оптической оси A1 и угол αgn, образуемый касательной с осью X:
Kgn = tg αgn = 1,4572; αgn = 55,5°.
  Эти значения Kgn и αgn относятся к гномонической проекции. Пересчет их значений на ортогональной проекции по формулам, приведенным в статье "Отображение направлений световых колебаний …" дает следующие результаты:
  угловой коэффициент касательной Kor = tg αor = 1,1495; αor = 49° (рис. 1).

2. Определение углового коэффициента касательной в центре координат в стандартной позиции оптических осей

В стандартной позиции изогира проходит через центр координат. Подставив в формулу (1) x = 0 и y = 0, получим очень простую формулу для расчета углового коэффициента касательной в центре координат:
K = -b / a.        (2)
  Пример 2. Определить угловой коэффициент касательной в центре координат в стандартной позиции с теми же координатами оптических осей, что и в примере 1.
  В примере 1 a = -0,7002, b = 3,2398.
K = tg α = -3,2398 / (-0,7002) = 4,6270. α = 77,8°.
  Рассчитанные значения K и α справедливы как для гномонической, так и для ортогональной проекции, поскольку на обеих проекциях любое направление в центре координат отображается без искажений.
  Определить угловой коэффициент касательной в центре поля зрения в стандартной позиции можно не зная координат оптических осей. Для этого нужно измерить углы ωx и ω-x совмещения изогиры с метками Mx и M-x или с делениями линейки окуляр-микрометра, ориентированной горизонтально, находящимися по разные стороны от центра на равном расстоянии от него. Расчет ведется по следующей формуле:
  Пример 3. Определить угловой коэффициент касательной в центре координат (окулярном перекрестии) при следующих углах совмещения изогиры с метками Mx и M-x: ωx = 33,8°, ω-x = -25,8°.
  Подстановка этих значений ωx и ω-x в формулу (3) дает следующий результат:
K = 4,628; α = arc tan K = 77,8°.
  Результаты расчета оказались такими же, как и в примере 2.
  Формула (3) используется в компьютерной программе определения 2V по методу "засечек" для автоматического контроля правильности выбора осевых меток (файл ms2vm1ru.exe). Правильный выбор меток зависит от величины K: если K > 1 (α > 45°), то рекомендуется для определения углов совмещения использовать метки на оси X, и метки на оси Y, если K < 1. При несоблюдении этого условия компьютер сообщает пользователю о неправильном выборе меток.

3. Определение углового коэффициента касательной в точках пересечения изогиры с осями координат.

  Для всех точек оси X ордината y имеет нулевое значение. Подставив y = 0 в (1), получим следующую формулу для расчета углового коэффициента Kgn для оси X:
      
  Аналогичным образом подстановкой x = 0 в (1) получена формула для расчета углового коэффициента касательной в точке пересечения изогирой оси Y:
      
  Пример 4.. Рассчитать угловой коэффициент Kgn касательной в точке пересечения изогиры с осью X после поворота столика из стандартной позиции (см. пример 1) на угол ω = 7°.
  Новые сферические координаты оптических осей после поворота столика будут равны:
  ось A1 - полярный угол ρ1 = 35° (остался без изменения), долгота λ1 = 70° - 7° = 63°;
  ось A2 - полярный угол ρ2 = 70° (остался без изменения), долгота λ2 = 110° - 7° = 103°.
  Гномонические координаты оптических осей равны:
a1 = tg ρ1 cos λ1 = tg 35° cos 63° = 0,3179;
b1 = tg ρ1 sin λ1 = tg 35° sin 63° = 0,6239;
a2 = tg ρ2 cos λ2 = tg 70° cos 103° = -0,6180;
b2 = tg ρ2 sin λ2 = tg 70° sin 103° = 2,6771.
  Рассчитываем параметры уравнения изогиры:
a = a1 + a2 = 0,3179 - 0,6180 = -0,3002;
b = b1 + b2 = 0,6239 + 2.6771 = 3,3009;
с = a1b2 + a2b1 = 0,3179 · 2,6771 + (-0,618) · 0,6239 = 0,4654;
d = a1a2 + b1b2 = 0,3179 · (-0,618) + 0,6239 · 2,6771 = 1,4737.
  По формуле
      
взятой из статьи *Уравнение изогиры для координатных осей* (формула 8), определяем абсциссу x точки пересечения изогиры с осью X после поворота столика на угол ω от стандартной позиции:
      
  После подстановки x и параметров уравнения в формулу (4) получим значение углового коэффициента Kgn касательной и угла αgn между касательной и осью X:
  Kgn = tg αgn = 9.0204; αgn = 83,7°.

  Зная абсциссу x точки пересечения можно определить ее полярный угол:
  ρ = arc tg x = arc tg 0.1363 = 7,8°.
  По формуле
      
взятой с рис. 5 статьи "Отображение …", рассчитаем угловой коэффициент Kor касательной и ее угол с осью X на ортогональной проекции:
  Kor = tg αgn = 9,0204/cos2 7,8° = 9.1897; tg αor = 83,8°.
Незначительное увеличение угла α при переходе с гномонической на ортогональную проекцию объясняется близостью точки пересечения изогиры с осью X к центру координат, где расхождение между проекциями минимальное.

4. Определение угла оптических осей по методу "засечек" с использованием позиции "касательная изогиры перпендикулярна к оси координат".

  В случае, когда касательная к изогире перпендикулярна к оси X,  Kgn = tg αgn = tg 90° = ∞. Это условие соблюдается, если знаменатель дроби в формуле (4) равен нулю:
ax2 -2(d - 2)x - 2a = 0        (6)
  Перпендикулярность касательной к оси Y означает, что она параллельна оси X, т. е. ее угловой коэффициент равен нулю: Kgn = tg αgn = tg 0° = 0. Это возможно, если числитель дроби в формуле (5) равен 0:
by2 -2(d - 2)y - 2b = 0         (7)

  Уравнения (6) и (7) используются в новой версии компьютерной программы определения угла 2V по методу "засечек".







  Рис. 2. Установка изогиры в позицию ⊥ оси X. а - стандартная позиция оптичских осей; б - изогира после поворота столика на угол ω = 13°; в - изогира в позиции ⊥ оси X (ω = 15°); г - изогира после поворта столика на угол ω = 17°. A - выход ближней оптической оси (вне поля зрения). Угловой радиус поля зрения ρk = 30°. Цена деления на осях координат 5°. Рис. 2а,б соответствуют "нулевые" изогиры при ω = 0 и 15° на рис. 1.














  Определение угла 2V с использованием позиции "Изогира ⊥ оси X или Y " производится в следующем порядке.
  1. Устанавливаем изогиру в стандартную позицию (рис. 2а). Кристалл в параллельном свете в скрещенных николях погашен, изогира проходит через центр поля зрения, ее узкий, менее подвижный конец находится в 1-м квадранте.
  2. Вращаем столик по часовой стрелке, если позиция "Изогира ⊥ оси X " на оси X, или против часовой стрелке (на оси Y). Наблюдаем за поведением контуров изогиры, которые назовем "бортами". По мере вращения изогиры левый борт становится более крутым, правый выполаживается. При угле поворота столика ω = 13° (рис. 2б) углы наклона бортов почти выравниваются. Полное равенство углов, образуемых левым и правым бортами с осью X (помечены на рис. 2в белыми дужками) достигнуто при ωp = 15°. При таком угле поворота солика изогира перпендикулярна к оси X (см. рис. 1). Продолжение поворота столика нарушает равенство углов, левый борт становится более крутым, чем правый (рис. 2г).
  3. В позиции ω = 15° снимаем с линейки окуляр-микрометра деления, отсекаемые бортами изогиры: D1 = 6, D2 = 13 и находим среднее значение D = (D1 + D2) / 2 = 9,5.
  4. Используя двусторонний способ, определяем углы совмещения изогиры с осевыми метками Mx и M-x: ωx = 33,8°, ω-x = -25,8°.
  Запускаем программу определения угла 2V (файл m2visprp.exe) и вводим в нее: апертура объектива Ap = 0,85, константа Малляра Km = 20,6, средний показатель преломления кристалла n = 1,7, D = 9,5, ωp = 15°, ωx = 33,8°, ω-x = -25,8°. Компьютер выдаст следующие результаты:
  сферические координаты оптических осей - ρ1 = 35,1°, λ1 = 69,9°, ρ2 = 69.8°, λ2 = 110,1°, 2V = 46°.
  Результаты расчета очень близки к исходным данным, использованным для воспроизведения "нулевой" изогиры на рис. 1 ( см. координаты оптических осей и угол 2V в примере 1).

  Рассматриваемый метод определения угла оптических осей в сечениях, в которых обе оптические оси находятся вне поля зрения, по точности уступает методу "засечек" с использованием метки M1, что связано с ошибками визуальной установки изогиры в позицию, перпендикулярную координатной оси. Кроме того, во многих сечениях это позиция отсутствует, или же присутствует, но на краю поля зрения, где видна только одна сторона изогиры.
  Однако это преимущество не всегда проявляется в сечениях с одной или обеими оптическими осями в поле зрения коноскопа. Иногда в них трудно или даже вообще невозможно определить угол совмещения изогиры с метками, особенно с меткой M1. Изогира при вращении столика перемещается очень медленно. Она может коснуться метки одной стороной, но не дойдя до касания второй стороной, начинает двигаться в обратном направлении. В итоге использование двустороннего способа совмещения изогиры с меткой оказывается невозможным. В таких случаях следует использовать рассматриваемую версию метода "засечек", чему благоприятствует и то обстоятельство, что в сечениях с оптическими осями в поле зрения почти всегда изогиру можно установить в положение, перпендикулярное координатной оси.

5. Заключение.

  Выведены формулы, по которым производится расчет углового коэффициента касательных в точке изогиры с известными гномоническими координатами. На их основе разработана новая версия метода "засечек" и подготовлена компьютерная программа определения угла оптических осей, использующая позицию "изогира перпендикулярна координатной оси X или Y ". Эта версия рекомендуется для контроля результатов измерения 2V, полученных при использовании первоначальной версии метода "засечек". В некоторых случаях, когда измерение углов совмещения изогиры с метками затруднено или ненадежно, новую версию можно считать не контрольной, а основной.

К началу страницы

На главную страницу