© Компанейцев В. П.

ОТОБРАЖЕНИЕ НАПРАВЛЕНИЙ СВЕТОВЫХ КОЛЕБАНИЙ В КРИСТАЛЛЕ
НА ОРТОГОНАЛЬНОЙ И ГНОМОНИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИЯХ
MAPPING THE DIRECTIONS OF LIGHT VIBRATIONS IN THE CRYSTAL
ON THE ORTOGONAL AND GNOMONIC PROJECTIONS


1. Общие сведения об ортогональной и гномонической проекциях.
2. Направление световых колебаний на ортогональной проекции.
3. Направление световых колебаний на гномонической проекции.
4. Сопоставление направлений световых колебаний на ортогональной проекции и гномонической проекциях.
5. Заключение.

     Написать эту статью меня побудила неясность в правомерности применения уравнения изогиры, выведенного на гномонической проекции, к реальной изогире, адекватно отображаемой на ортогональной проекции.
     Согласно главной коноскопической теореме изогира есть геометрическое место точек в задней фокальной плоскости объектива поляризационного микроскопа, в которых биссектрисы углов между направлениями световых колебаний в николях и проекциями направлений световых колебаний в кристаллической пластинке совпадают. В скрещенных николях биссектрисы углов между направлениями световых колебаний ориентированы под углом 45° к нитям окулярного креста, принятым за координатные оси. Следовательно, изогира проходит через точки, в которых биссектрисы углов между направлениями световых колебаний в кристалле имеют такую же ориентировку.
     Чтобы решить рассматриваемую проблему, нужно изучить соотношение направлений световых колебаний на ортогональной и гномонической проекциях и доказать, что биссектрисы световых колебаний на обеих проекциях совпадают.
     В кристалле световые колебания совершаются в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, являющихся биссектрисами острого и тупого углов, образованных главными сечениями оптической индикатрисы. В коноскопе имеется только одна точка - центр поля зрения, в которой сохраняется перпендикулярность световых колебаний. Вне центра поля зрения лучи света поступают косо к поверхности шлифа и потому проекции направлений световых колебаний искажены - они образуют между собой острые или тупые углы.
     В статье будут рассмотрено отображение направлений световых колебаний на ортогональной и гномонической проекциях (выведены формулы, с помощью которых можно рассчитать их ориентировку) и приведены аргументы, подтверждающие применимость гномонического уравнения изогиры на ортогональной проекции.

1. Краткие сведения об ортогональной и гномонической проекциях.

     Для определения направления световых колебаний в какой-либо точке поля зрения коноскопа наиболее удобной является кристаллооптическая модель в виде воображаемой сферической поверхности световых колебаний в кристалле. Физически эта модель может быть представлена в виде шара, на поверхности которого нанесены линии, показывающие направления световых колебаний (шар Бера). Эти линии, спроектированные под прямым углом на плоскость, касательную к шару, названы скиодромами. Касательные к скиодромам соответствуют направлениям световых колебаний в поле зрения коноскопа.
     Ортогональная проекция. В картографии она известна как ортографическая проекция. Проектирование точки сферы осуществляется под прямым углом на плоскость, касательную к сфере. Наглядное представление об ортогональной проекции можно получить взглянув на глобус со стороны экватора. Параллели будут отображаться на сетчатке глаза в виде прямых параллельных линий, меридианы, на шаре являющиеся окружностями, будут казаться эллипсами с разной степенью сжатия (рис. 1а). Расстояние D от центра до какой-либо точки на проекции определяется по формуле D = R sin ρ, где R - радиус сферы, ρ - полярный угол точки.
     Недостаток ортогональной проекции - сильное искажение (сжатие) на краю проекции.



Рис. 1. Экваториальная градусная сетка на ортогональной (а) и гномонической (б) проекциях. Меридианы и параллели проведены через 10°. Угловой радиус гномонической проекции ограничен окружностью с угловым радиусом ρ = 70°.





     Гномоническая проекция. На гномонической проекции проектирование какой-либо точки сферы производится продолжением радиуса сферы, проходящего через точку, до пересечения с плоскостью проекции, касательную к сфере. Расстояние D от центра до проектируемой точки определяется тангенсом полярного угла: D = R tg ρ. Так как tg 90° = ∞, то эта проекция не имеет внешней границы.
     Меридианы на гномонической проекции имеют вид прямых вертикальных линий, а параллели отображаются в виде в разной степени изогнутыми кривыми линиями, являющимися гиперболами (рис. 1б). Сферические треугольники на проекции проецируются как плоские треугольники. Основное достоинство гномонической проекции - более простые математические формулы, описывающие те или иные фигуры на поверхности сферы. По этой причине гномоническая проекция была использована для вывода уравнения изогиры.
     Недостаток гномонической проекции - сильное искажение (растянутость) на краю проекции.

2. Направления световых колебаний на ортогональной проекции.

     Эта проекция представляет особый интерес, так как она адекватно объясняет наблюдаемую в коноскопе картину.
     Пусть в исходной позиции на сферической поверхности с радиусом R плоскость световых колебаний проходит через центр M поля зрения и ее след имеет вид прямой линии PP', проходящей через все поле ортогональной проекции (рис. 1а).




Рис. 2. Определение направления световых колебаний в кристалле на ортогональной проекции. а - ортогональная проекция сферической поверхности световых колебаний в кристалле. б - сечение сферы по линии SS'. Пояснения к буквенным обозначениям приведены в тексте.




     На некотором расстоянии Δy от центра проведем прямую линию SS' параллельно "экватору". Эта линия представляет собой проекцию малого круга сферы, аналогом которой является параллель на глобусе. Она пересекается с плоскостью световых колебаний PP' в точке N. Угловой коэффициент линии PP' найдем из прямоугольного треугольника MNN' как отношение противолежащего катета к прилежащему:
     tg α = Δy / MN' = Δy / N0N,
     откуда находим
     N0N = Δy / tg α.
     Повернем сферу вокруг оси Y на угол ρ. Точка M сместится вправо и займет положение M1. Величина смещения равна радиусу сферы R, умноженному на синус угла поворота: MM1 = R sin ρ.
     Вторая точка N, находящаяся на плоскости световых колебаний, имеет "фору" относительно точки M - она уже повернута на угол ρ0, равный arc sin (N0N / r), где r - радиус малого круга сферы (рис. 1б). Величина ее смещения относительно оси Y равна N0N1 = r sin (ρ0 + ρ).
     При повороте сферы точка M будет "догонять" точку N, что обясняется отчасти тем, что r < R, но главным образом, нелинейностью функции синуса, затуханием скорости приращения функции для больших углов.

     Примечание. Проекция плоскости световых колебаний PP' после поворота сферы на угол ρ из прямой линии преобразуется в эллипс. Он не показан, чтобы не усложнять рисунок. Линия M1N1 - это касательная к эллипсу в точке M1, показывающая направление световых колебаний в этой точке.

       Угловой коэффициент касательной M1N1 равен пределу
     Принимая во внимание, что
     N0N1 = r sin (ρ0 + ρ) = r (sin ρ0 cos ρ + sin ρ cos ρ0),
     MM1 = R sin ρ,
     sin ρ0 = sin[arc sin (N0N / r)] = N0N / r,
     N0N = Δy / tg α,
     формулу (1) запишем в следующем виде:
     Радиус сферы принимаем равным R = 1.
     При Δy → 0, rR и, следовательно, r → 1;
     cos[arc sin(Δy / tg α)] = cos 0 = 1.
     Подставив эти значения в формулу (2), получим
     Угол ρM представляет собой полярный угол точки M1 после поворота сферы на этот угол.

     Из формулы (3) следует, что угловой коэффициент направления световых колебаний в какой-либо точке на ортогональной проекции равен угловому коэффициенту этого направления в центре координат (т. е. в неискаженном виде), деленному на косинус полярного угла этой точки.

     Так как cos ρM < 1, то α' > α, т. е. направление световых колебаний на ортогональной проекции более крутое, чем в центре координат, и его крутизна увеличивается при возрастании полярного угла. Иначе говоря, чем дальше от центра точка, тем круче в ней направление световых колебаний.

     Пример 1. Направление световых колебаний в точке, находящейся в центре координат, образует с осью X угол α = 60°. Определить каким будет этот угол после переноса ее в точку M со следующими полярными сферическими координатами: полярный угол ρ = 60°, долгота λ = 30°.
     Сначала смещаем точку по оси X и определяем здесь угол, образуемый направлением световых колебаний с осью X по формуле (3):
      tg α' = tg 60° / cos 60° = 3,464; α' = 74°.
     Поворотом осей координат на угол λ = 30° переносим точку с оси X в заданную точку M. При этом наклон линии световых колебаний увеличится на величину λ:
     α'' = α' + λ = 74 + 30 = 104°.

3. Направления световых колебаний на гномонической проекции.

       Вывод формулы для расчета угла наклона направлений световых колебаний на гномонической проекции более простой, чем на ортогональной проекции. На последней плоскости, в которых совершаются световые колебания, отображаются в виде эллипсов. Направление световых колебаний определяется как касательная в заданной точке эллипса. Для этой цели потребовалось для вывода формулы углового коэффициента касательной использовать определение предела.
     На гномонической проекции плоскости световых колебаний образуют прямые линии, угловой коэффициент которых, в отличие от эллипса, одинаковый для всех точек линии.
     Вывод формулы углового коэффициента проекции плоскости световых колебаний на гномонической проекции будем решать в сферических координатах, используя следующие две формулы, связывающие сферические и гномонические координаты:

       Пусть в исходной позиции проекция одной из плоскостей световых колебаний PP' проходит через точку М (центр координат) под углом α к оси X. (рис. 3). Возьмем на этой линии произвольную точку N(φ,λ) со сферическими координатами - широтой φ и долготой λ, указанными в скобках.




Рис. 3. Определение направления световых колебаний в кристалле на гномонической проекции (пояснения к буквенным обозначениям приведены в тексте).







     Угловой коэффициент линии PP' - tg α найдем как отношение противолежащего катета NN' к прилежащему MN':

       Заменив x и y их значениями из формул (4) и (5), получим

     Повернем сферу вокруг оси Y на угол ρ. Точка М сместится в точку M1 с координатами φ = 0, λ = ρ. Точка N, двигаясь по параллели, на гномонической проекции имеющей вид гиперболы, займет новое положение N1. Сферические координаты этой точки: широта, равная φ, не изменится, долгота будет равна сумме λ + ρ.
     Новая проекция плоскости световых колебаний P1P'1 наклонена к оси X под меньшим углом α', что объясняется опережающим точку M движением проекции точки N, вызванным возрастанием функции тангенса при увеличении угла наклона и наличием у этой точки преимущества в виде долготы λ.
     Угловой коэффициент линии P1P'1 определим из прямоугольного треугольника M1N1N'1. Углы этого треугольника имеют следующие сферические координаты (даны в скобках, соответственно широта и долгота): M1(0, ρ), N1(φ, λ + ρ), N'1(0, λ + ρ). Точки N1 и N'1 имеют одинаковую долготу λ + ρ, так как они расположены на одной вертикальной линии, т. е. находятся на одном меридиане.
     Катет N1N'1 прямоугольного треугольника M1N1N'1 равен ординате точки N1 и может быть рассчитана по формуле (5):
      y = tg φ /cos λ.
     Второй катет M1 и N'1 равен разности длины отрезков MN'1 - MM1:
     x = tg(λ + ρ) - tg ρ.
      Угловой коэффициент линии P1P'1 равен

     После замены tan (λ + ρ) его выражением через синус и косинус и раскрытия в последних суммы синуса и косинуса получена следующая формула:

     Учитывая значение tg α в формуле (6), получим окончательную формулу:

tg α' = tg α cos ρ (7)

     Из формулы (7) следует, что угловой коэффициент направления световых колебаний в какой-либо точке на гномонической проекции равен угловому коэффициенту этого направления в центре координат (т. е. в неискаженном виде), умноженному на косинус полярного угла этой точки.

     Так как cos ρ < 1, то можно сдеелать вывод о том, что на гномонической проекции направления световых колебаний более пологие, чем в исходной позиции.

     Пример 2. Исходные данные те же, что и в примере 1. Нужно определить направление световых колебаний в точке M на гномонической проекции.
     По формуле (7) рассчитываем угол наклона световых колебаний на гномонической проекции:
     tg α' = tg 60° cos 60° = 0,8660.
     tg α' = 41°.
     Поворотом осей координат на угол λ = 30° переносим точку с оси X в заданную точку M. При этом наклон линии световых колебаний увеличится на величину λ:
     α'' = α' + λ = 41° + 30° = 71°.

4. Сопоставление направлений световых колебаний на ортогональной и гномонической проекциях.

     Используя формулы (5) и (6) для расчета угловых коэффициентов направления световых колебаний, выясним их соотношение на ортогональной и гномонической проекции. Пусть в исходной позиции луч света, идущий перпендикулярно к плоскости проекции,выходит в точке M, расположенной в центре координат (рис. 4а). Световые колебания совершаются по двум направлениям n' и n'', ориентированным под углом соответственно 60° и -30° и образующими между собой угол 90°. Проекция этого угла в центре координат передается без искажений как на ортогональной, так и на гномонической проекции. Для направления n'' принят отрицательный знак угла (-30°), так как он отсчитывается от оси X по часовой стрелке.















Рис. 4. Соотношение направлений световых колебаний в кристалле на ортогональной и гномонической проекциях. а - разультаты расчета углов, образуемых направлениями световых колебаний n' и n'' с осью X. M - исходная позиция, точка M находится в центре координат; M1 - ортогональная проекция точки M и направлений световых колебаний n'1 и n''1 после поворота сферы на угол ρ; M2 - гномоническая проекция точки M и направлений световых колебаний n'2 и n''2 после поворота сферы на угол ρ. б - увеличенный фрагмент рис. а, расположенный между точками M1 и M2.

     Из тригонометрии известно, что tg (α ±90°) = -1/tg α или, применительно к рис. 4а, tg α'' = -1/tg α'. Для большей наглядности обозначим угловой коэфициент направления n' буквой K. Угловой коэффициент направления n'' будет равным -1 / K.
     Повернем сферу вокруг оси Y на угол ρ. Точка M при этом займет положение M1 на ортогональной проекции и M2 на гномонической проекции. Расстояния MM1 и MM2 будут соответственно равны sin ρ и tg ρ.
     Согласно формулам (6) и (7) угловые коэффициенты для направления n' на ортогональной и гномонической проекции будут соответственно равны K / cos ρ и K cos ρ, а для направления n'' -1/(K cos ρ) и -cos ρ / K (см. таблицу).
     На рис. 4а вынесены результаты расчета углов, образуемых направлениями световых колебаний с осью X по формулам, приведенным в таблице. Угол между направлениями световых колебаний на ортогональной проекции стал тупым (123°), а на гномонической проекции - острым (57°). На рисунке обнаружилась интересная особенность соотношения направлений световых колебаний на ортогональной и гномонической проекциях - они взаимно перпендикулярны. Как видно на рисунке n'2n''1, n''2n'1.
     Перпендикулярность этих направлений не случайна. Она подтверждается формулами угловых коэффициентов, приведенными в таблице. Можно видеть, что угловые коэффициенты в точках M1 и M2 для n' и n'' являются обратными величинами и имеют противоположные знаки. Это указывает на прямой угол между ними. Следовательно, направления световых колебаний на ортогональной и гномонической проекциях взаимно перпендикулярны.
     Взаимная перпендиклярность сторон углов, образованных направлениями световых колебаний на ортогональной и гномонической проекции позволяет сделать важный вывод: биссектрисы этих углов параллельны.
     Сначала подтвердим это вывод результатми расчета углов на рис. 4а.
     На ортогональной проекции биссектриса угла ∠n'1M1n''1 = (α'1 + α''1) / 2 = (74° - 49°) / 2 = 12,5°.
     Такой же результат получен и на гномонической проекции:
биссектриса угла ∠n'2M2n''2 = (α'2 + α''2) / 2 = (41° - 16°) / 2 = 12,5°.
     Такое совпадение биссектрис нельзя считать твердым доказательством параллельности биссектрис, так как всегда можно заявить, что оно случайное.
     Приводим математическое обоснование параллельности биссектрис на ортогональной и гномонической проекциях.
     Биссектриса βor угла, стороны которого образованы направлениями световых колебаний n'1 и n''1 на ортогональной проекции (рис. 4б), равна
     βor = (α'1 + α'2) / 2.
     Из прямоугольных треугольников M1P1M2 и M1P2M2 найдем углы с вершинами в точке M2:
     ∠M1M2P1 = 90° - α'1;
     ∠M1M2P2 = 90° - α''1.
     Эти углы являются накрестлежащими по отношению к углам α'2 и α''2. Учитывая это, запишем:
     α'2 = 90° - α'1;
     α''2 = -(90° - α''1).
     Знак для последнего угла принят отрицательным, так как отсчет этого угла от оси X производится по часовой стрелке.
     Биссектриса βgn угла, стороны которого образованы направлениями световых колебаний n'2 и n''2 на гномонической проекции (рис. 4б), равна
     βgn = 90° - α''1 - (90° - α'1) = (α'1 + α'2) / 2.
     Как показано выше, по такой же формуле рассчитывается биссектриса на ортогональной проекции.
     Следовательно, можно считать доказанным, что что биссектрисы углов, стороны которых образованы направлениями световых колебаний, для одного и того же луча на ортогональной и гномонической проекциях совпадают.
     Из совпадения биссектрис, определяющих положние точек изогиры, следует, что гномоническое уравнение изогиры пригодно и для ортогональной проекции, которая соответствует реально наблюдаемой в коноскопе изогире (конечно, при условии пересчета гномонических координат в ортогональные координаты).

     Другие формулы для расчета направления световых колебаний на ортогональной и гномонической проекциях. По формулам (6) и (7) можно определить угловой коэффициент только в одном направлении: от исходной позиции до позиций на ортогональной и гномонической проекциях. На рис. 5 в виде схемы показаны другие формулы, по которым можно вести расчет в обратном направлении, от проекций до исходной позиции, а также с одной проекции на другую, минуя исходную позицию.

Рис. 5. Схема использования формул при пересчете угловых коэффициентов направлений световых колебаний для исходной позиции и ортогональной и гномонической проекций. K - угловой коэффициент направлений световых колебаний; α, αor и αgn - углы, образуемые направлениями световых колебаний с осью X соответственно в исходной позиции, на ортогональной и гномонической проекциях; ρ - полярной угол точки выхода луча света.

5. Заключение.

     В результате анализа закономерностей отображения направлений световых колебаний на ортогональной и гномонической проекцииях сделаны следующие выводы.
     1. Взаимно перпендикулярные направления световых колебаний в кристалле проецируются с искажениями угла между ними: на ортогональной проекции он увеличивается и становится тупым, на гномонической проекции он уменьшается и становится острым. При этом сумма этих углов для одного и того же луча света остается постоянной и равной 180°.
     2. Установлена связь между направлениями световых колебаний на ортогональной и гномонической проекциях, заключающаяся в их взаимной перпендикулярности.
     3. Биссектрисы углов, стороны которых образованы направлениями световых колебаний на ортогональной и гномонической проекциях, параллельны друг другу. Это свойство биссектрис, ориентировка которых определяет положение изогиры, доказывает применимость главной коноскопической теоремы для обеих проекций. Следовательно уравнение изогиры, выведенное на гномонической проекции, применимо и для ортогональной проекции, которая соответствует реально наблюдаемой в коноскопе изогире.

К началу страницы

На главную страницу