S O V E T Y. C O N O S C O P E. R U
C О В Е Т Ы. К О Н О С К О П. Р У

Сайт Компанейцева
Вячеслава Петровича

Советы, дополнения, комментарии

© Компанейцев В. П.

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПЕРЕСЧЕТА СФЕРИЧЕСКИХ И ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ
FORMULAS FOR THE CONVERSION OF SPHERICAL AND RECTANGULAR COORDINATES

В кристаллооптике для анализа явлений, наблюдаемых в сходящемся свете, используется представление о сферической поверхности направлений световых колебаний в кристалле. Как видно из названия этой воображаемой модели, ориентация какого-либо направления, например, оптической оси, должно быть задано в сферических координатах.

В коноскопе мы видим часть плоской проекции сферической поверхности и, следовательно, положение какой-либо точки может быть описано ее прямоугольными координатами.

В связи с использованием различных систем координат возникает необходимость пересчета сферических координат в прямоугольные и обратно. Ниже будут приведены необходимые для этого формулы пересчета.

В компьютерных программах "Определение угла оптических осей и ориентировки оптической индикатрисы" и "Компьютерное воспроизведение изогиры" (см. сайт www.conoscope.ru) используются следующие системы координат:
1) сферические координаты
      а) с полярной градусной сеткой,
      б) с экваториальной градусной сеткой;
2) прямоугольные координаты
      а) в ортогональной проекции,
      б) в гномонической проекции.

Сферические координаты. Для описания сферических координат будем применять всем понятные термины из школьной географии: полюс, экватор, параллели, меридианы, восточная и западная долгота, северная и южная широта.

Наглядное представление о полярной градусной сетке можно получить, если посмотреть на глобус со стороны северного полюса. В центре проекции окажется полюс (рис. 1, а).



Рис.1. Полярная (а) и экваториальная (б) градусные сетки.

Концентрические окружности - это параллели, положение которых определяется полярным углом ρ - угловым расстоянием параллели от полюса или широтой φ - угловым расстоянием от параллели до экватора (крайняя окружность с максимальным радиусом). Ясно, что сумма ρ + φ для любой точки сферы равна 90°.

Радиусы, расходящиеся из центра сетки (полюса) - это меридианы, долгота которых отсчитанная от нулевого меридиана, считается положительной в направлении против часовой стрелки (от 0 до 180°) и отрицательной при отсчете в противоположном направлении (от 0 до -180°).

Преимущество использования сферических координат с центральным расположением полюса является простота расчета изменения координат оптических осей при вращении столика. При повороте столика на угол ω полярный угол ρ остается постоянным, а долгота увеличивается или уменьшается на угол ω. Недостаток полярной градусной сетки - на ней невозможно провести плоскость, например, плоскость оптических осей при известных координатах оптических осей.

На экваториальной градусной сетке (рис. 1, б) экватор с широтой φ = 0° ориентирован горизонтально и проходит через центр проекции. Нулевой меридиан, соединяющий северный и южный полюсы, также проходит через центр сетки. Долгота восточных меридианов считается положительной (от 0 до 90°), западных меридианов - отрицательной (от 0 до -90°). Параллели северного полушария имеют положительные значения широты φ, южного полушария - отрицательные значения. Так как полярный угол ρ связан с широтой φ выражением ρ = 90° - φ, то его значения в южном полушарии могут превышать 90° и достигать 180° на южном полюсе.

Экваториальная градусная сетка используется для нанесения на кальку результатов измерения на федоровском столике. Ее достоинство - простой способ нанесения плоскостей симметрии оптической индикатрисы, спайности и плоскости срастания двойников. Для этого достаточно вывести оптические оси на один меридиан или совместить полюс плоскости с экватором и скопировать меридиан, удаленный от полюса плоскости на 90°.

Прямоугольные координаты. На рис. 2 показано положение одной и той же точки M с полярным углом ρ для гномонической (M1), ортогональной (M2) и стереографической проекции (M3). Удаление проекции точки от центра координат соответственно равно: OM1 = tg ρ, OM2 = sin ρ, OM3 = tg(ρ/2).





Рис.2. Результаты проектирования на плоскость точки M сферы с полярным углом ρ = 60° и долготой λ = 33° (на рисунке точки M нет).











Прямоугольные координаты точек проекции с учетом долготы λ равны:
на гномонической проекции
x1 = tg ρ cos λ,
y1 = tg ρ sin λ;
на ортогональной проекции
x2 = sin ρ cos λ,
y2 = sin ρ sin λ.

Реально наблюдаемая в коноскопе картина адекватно отображается на ортогональной проекции. Такой вывод можно сделать, если обратить внимание на присутствие синуса в формуле Малляра и в формулах расчета координат на ортогональной проекции.

На гномонической проекции сферы положение проектируемых точек искажено, особенно при больших полярных углах, что связано с быстрым нарастанием tg ρ при увеличении полярного угла. При ρ = 90° проекция точки уходит в бесконечность, т. е. гномоническая проекция сферы не имеет внешней границы. Но гномоническая проекция имеет одно очень важное достоинство - для него выведено уравнение изогиры, по которому возможен расчет координат точек изогиры по координатам оптических осей и решение обратной задачи - расчет координат оптических осей и угла 2V по координатам точек изогиры.
Формулы для пересчета координат из одной из перечисленных систем в другую приведены в таблице 1. В ней указаны исходная система координат с известными значениями координат какой-либо точки и целевая система, в которую нужно пересчитать исходные координаты.
Таблица 1             
Формулы для пересчета сферических и прямоугольных координат

В таблице приняты следующие буквенные обозначения:
сферические координаты:
  ρ - полярный угол,
  φ - широта,
  λ - долгота;
нижние индексы при координатах:
   P - полярная система сферических координат,
   E - экваториальная система сферических координат;
прямоугольные координаты:
   x, y - абсцисса и ордината на ортогональной проекции,
   X, Y - абсцисса и ордината на гномонической проекции.

   ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ! В таблице 1 к формулам пересчета сферических координат при переходе с экваториальной на полярную сетку добавлены поправки к результатам расчетов для точек с отрицательной долготой λE. 12 мая 2016 г.

Для ускорения расчетов прилагается программа coordint.exe. Ее следует скачать на любой носитель и запустить двойным щелчком левой кнопки мыши. Затем нужно указать номера исходной и целевой программ, ввести исходные координаты, каждый раз нажимая Enter.

Пример пересчета координат. На странице 10 "Руководства пользователя" по методу "засечек" рассчитаны значения сферических полярных координат оптических осей, плоскости оптических осей и острой и тупой биссектрис (см. 2-й и 3-й столбцы таблицы 2). Их нанесение с помощью экваториальной стереографической сетки хотя и возможно, как это показано в "Руководстве", но связано с многочисленными поворотам кальки, что снижает точность построений.

Таблица 2             
Результаты пересчета сферических полярных координат в сферические экваториальные координаты

Элементы симметрии оптической индикатрисы
Стандартная позиция
Позиция после поворта столика на угол ω=60,1°
Полярные координаты
Экваториальные координаты
Полярные координаты
Экваториальные координаты
ρP
λP
φE
λE
ρP
λP
φE
λE
Оптическая ось A1
44,5
53,9
34,5
30,1
44,5
-6,2
-4,3
44,3
Оптическая ось A2
67,4
126,1
48,2
-54,8
67,4
66,0
57,5
44,3
Плоскость опт. осей P
44,3
60,1
37,3
25,9
44,3
0,0
0,0
44,3
Острая биссектриса B1
50,2
95,7
49,9
-6,8
50,2
35,6
26,6
44,3
Тупая биссектриса B2
71,3
-10,6
-10,0
71,0
71,3
-47,3
-64,3
44,3

Поэтому следует пересчитать полярные координаты в экваториальные (4-й и 5-й столбцы таблицы) и по их значениям, наложив кальку на стереографическую экваториальную сетку, нанести результаты расчетов не меняя положение кальки, что повышает точность построений.

Чтобы убедиться в отсутствии погрешностй в расчетах, повернем кальку так, чтобы точка P оказалась на экваторе (см. рис. 6, в на стр. 11 "Руководства"). Все 5 точек плоскости оптических осей должны оказаться на одном меридиане. Это графический способ контроля. Проверку можно провести и аналитическим способом. Для этого из всех долгот точек (2-й столбец) отнимем долготу точки P, равную 60,1°. Долгота этой точки окажется равной 0°, т. е. она окажется на нулевой меридиане. Новые полярные координаты точек (6-й и 7-й столбцы) пересчитаны в экваториальные сферические координаты (два последних столбца). Долгота всех пяти точек оказалась одной и той же (44,3°}, что подтверждает правильность расчетов.

Пересчет координат может быть полезным при сравнении результатов определения 2V, ориентировки оптических осей и элементов симметрии оптической индикатрисы, определенных по методу засечек (полярные координаты) и на федоровском столике (экваториальные координаты).

Основное назначение формул пересчета координат - разработка компьютерных программ для решения разных коноскопических задач. В качестве примера многоступенчатого пересчета координат укажем на программу "Компьютерное воспроизведение изогиры". В ней исходные данные - сферические координаты оптических осей пересчитываются в прямоугольные гномонические координаты, используемые для решения уравнения изогиры. Затем гномонические координаты точек изогиры пересчитывются в прямоугольные ортогональные координаты и выносятся на экран монитора.


К началу страницы

На главную страницу
1. Дополнение к статье "Микроструктурный анализ…"
2. Как определить коноскопический угол объектива
Статьи
1. Вероятность появления в поле зрения коноскопа оптических осей
2. Диаграмма для определения больших углов оптических осей…
3. Градуировка коноскопа поляризационного микроскопа
4. Уравнение изогиры для координатных осей
5. Закономерности движения изогиры вдоль осей координат…
6. Определение в коноскопе малых углов оптических осей
7. Определение в коноскопе угла оптических осей и ориентировки оптической индикатрисы кристаллов в косых сечениях
8. О возможности использования метода Малляра в косых сечениях кристаллов
Компьютерные программы
1. Расчет интенсивности белого света…

Руководство к программе
2. Расчет угла поворота столика…

Руководство к программе
3. Компьютерный определитель породообразующих минералов в шлифах

Руководство к Компьютерному определителю…
4. Расчет вероятности появления в поле зрения коноскопа оптических осей
5. Пересчет сферических и прямоугольных координат
6. Расчет угла 2V в сечениях кристаллов, в которых изогира образует крест

Руководство к программе …