S O V E T Y. C O N O S C O P E. R U
C О В Е Т Ы. К О Н О С К О П. Р У

Сайт Компанейцева
Вячеслава Петровича

Советы, дополнения, комментарии

© Компанейцев В. П.

УРАВНЕНИЕ ИЗОГИРЫ ДЛЯ КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ
THE EQUATION OF ISOGYRE FOR X- AND Y-AXES

Уравнение изогиры, описывающее связь между координатами точек изогиры и оптических осей, имеет следующий вид:

bx3 + ay3 - ax2y - bxy2 - cx2 - cy2 + 2(d - 2)xy + 2bx + 2ay - 2c = 0,               (1)

где x, y - координаты точек изогиры на гномонической проекции,
a = a1 + a2 - сумма абсцисс оптических осей A1 и A2,
b = b1 + b2 - сумма ординат оптических осей A1 и A2,
c = a1b2 + a2b1 - сумма смешанных (перекрестных) произведений абсцисс и ординат оптических осей,
d = a1a2 + b1b2 - сумма парных произведений абсцисс и ординат оптических осей.

Чтобы вывести уравнение изогиры для оси X, подставим y = 0 в общее уравнение изогиры (1).   Получим следующее уравнение:
bx3 - cx2 + 2bx - 2c = 0.
Сокращаем это уравнение на x2 + 2, используя правило деления многочлена на двучлен 2-й степени:
(bx3 - cx2 + 2bx - 2c) / (x2 + 2) = bx - c = 0.
Заменяем b и с их значениями и получим уравнение изогиры для координатной оси X:
(b1 + b2) x - a1b2 - a2b1 = 0.                    (2)
Аналогичным способом найдено уравнение изогиры для координатной оси Y:
(a1 + a2) y - a1b2 - a2b1 = 0.                     (3)
Из уравнений (2) и (3) получены формулы для расчета координат точек пересечения изогирой координатных осей:

                   (4)


                   (5)


Все приведенные выше уравнения и формулы действительны как для стандартной, так и для нестандартной позиции оптических осей. Напомню, что за стандартную позицию принимается одна из 4-х позиций погасаний кристалла, наблюдаемых при полном повороте столика на 360°, в которой ближняя оптическая ось A1 находится в 1-м квадранте, а дальняя оптическая ось A2 во 2-м (рис. а), либо в 4-м квадранте.



Рис. Смещение изогиры по осям координат при вращении столика микроскопа. а - стандартная позиция; б - позиция после поворота столика на угол ω = 40°. Гномоническая проекция. Окружность показывает край поля зрения для углового радиуса ρK = 30°.  A1, A2 - оптические оси;  A1',  A2'  -  проекции оптических осей на координатные оси;  ρ1, λ1, ρ2, λ2 - полярные углы и долготы оптических осей; a1, b1, a2, b2  -  гномонические координаты оптических осей в стандартной позиции;  a1', b1', a2', b2' - гномонические координаты оптических осей после поворота столика на угол ω = 40°; Px, Py - точки пересечения изогиры с координатными осями.

Понятие "стандартной позиции" введено для организации единой системы отсчета углов поворота столика микроскопа. Это своего рода репер, от которого начинается отсчет углов поворота столика.

В стандартной позиции оптических осей кристалл в проходящем свете при скрещенных николях погашен, а изогира проходит через центр поля зрения O. Направления OA1 и OA2 являются главными сечениями оптической индикатрисы. Согласно правилу Френеля световые колебания в кристалле совершаются в плоскости биссектрисы двугранного угла, образованного главными сечениями. Следовательно, темнота в центре поля зрения будет наблюдаться при условии совпадения биссектрисы угла A1OA2 с осью Y, параллельной световым колебаниям в одном из николей.
В стандартной позиции параметр с уравнения изогиры (1) имеет нулевое значение:
с = a1b2 + a2b1 = 0.
Это можно подтвердить, если учесть, что в подобных прямоугольных треугольниках A1OX и A2OX углы A1OX и A2OX равны и, следовательно, отношение противолежащих катетов к прилежащим в обоих треугольниках будет равным:

откуда находим
a1b2 + a2b1 = 0.
После поворота столика на угол ω новые координаты оптических осей рассчитываются по известным из аналитической геометрии формулам поворота осей координат:

a1' = a1 cos ω + b1 sin ω
b1' = b1 cos ω - a1 sin ω
a2' = a2 cos ω + b2 sin ω
b2' = b2 cos ω - a2 sin ω,

где a1', b1', a2', b2' - новые координаты оптических осей;
a1, b1, a2, b2 - координаты оптических осей в стандартной позиции.

Подставляем эти значения в (4) и (5) и после преобразований получим следующие уравнения изогиры, учитывающие угол поворота столика:
[cos ω (b1 + b2) - sin ω (a1 + a2)] x - sin 2ω (b1b2 - a1a2) = 0;                     (6)
[cos ω (a1 + a2) + sin ω (b1 + b2)] x - sin 2ω (b1b2 - a1a2) = 0.                     (7)
Из этих уравнений находим формулы для расчета координат точек пересечения изогирой координатных осей:

                   (8)



                    (9)


Пример расчета координат точек пересечения изогиры с координатными осями.
В стандартной позиции оптические оси имеют следующие координаты:
ρ1 = 35°; λ1 = 60°; ρ2 = 50°; λ2 = 120°. Угол поворота столика ω = 40°.
Нужно рассчитать координаты точек пересечения изогиры с осями X и Y. По формулам пересчета сферических координат в прямоугольные рассчитываем гномонические координаты оптических осей в стандартной позиции:
a1 = tg ρ1 cos λ1 = tg 35° cos 60° = 0,3501;
b1 = tg ρ1 sin λ1 = tg 35° sin 60° = 0,6064;
a2 = tg ρ2 cos λ2 = tg 50° cos 120° = -0,5959;
b2 = tg ρ2 sin λ2 = tg 50° sin 120° = 1,0321.
Рассчитываем координаты точек пересечения после поворота столика на 40°, введя в формулы (8) и (9) значения координат оптических осей в стандартной позиции:




Точкам пересечения соответствуют следующие их полярные углы:
ρx = arctg(0,5815) = 30,2°;
ρy = arctg(0,9502) = 43,5°.
На рис. б видно, что первая точка пересечения Px находится на окружности, ограничивающей поле зрения коноскопа. Она совпадает с меткой Mx и, следовательно, угол ω = 40° может быть использован для ввода в программу определения 2V по методу "засечек". Вторая точка Py пересечения изогиры с осью Y находится вне поля зрения, далеко от центра. Cледует заметить, что пересечение с осями X и Y дают разные ветви изогиры.

Заключение. Уравнения изогиры для координатных осей дают возможность рассчитать положение изогиры на осях X и Y в зависимости от угла поворота столика микроскопа. На них основана программа определения угла оптических осей по методу "засечек". Кроме того, присутствие в уравнениях угла поворота столика ω позволяет исследовать математическими методами поведение изогиры при вращении столика (см. статью "Закономерности движения изогиры …")


К началу страницы

На главную страницу
1. Дополнение к статье "Микроструктурный анализ…"
2. Как определить коноскопический угол объектива
3. Формулы для пересчета сферических и прямоугольных координат
Статьи
1. Вероятность появления в поле зрения коноскопа оптических осей
2. Диаграмма для определения больших углов оптических осей…
3. Градуировка коноскопа поляризационного микроскопа
5. Закономерности движения изогиры вдоль осей координат…
6. Определение в коноскопе малых углов оптических осей
7. Определение в коноскопе угла оптических осей и ориентировки оптической индикатрисы кристаллов в косых сечениях
8. О возможности использования метода Малляра в косых сечениях кристаллов
Компьютерные программы
1. Расчет интенсивности белого света…

Руководство к программе
2. Расчет угла поворота столика…

Руководство к программе
3. Компьютерный определитель породообразующих минералов в шлифах

Руководство к Компьютерному определителю…
4. Расчет вероятности появления в поле зрения коноскопа оптических осей
5. Пересчет сферических и прямоугольных координат
6. Расчет угла 2V в сечениях кристаллов, в которых изогира образует крест

Руководство к программе …