S O V E T Y. C O N O S C O P E. R U
C О В Е Т Ы. К О Н О С К О П. Р У

Сайт Компанейцева
Вячеслава Петровича

Советы, дополнения, комментарии

© Компанейцев В. П.

ЗАКОНОМЕРНОСТИ ДВИЖЕНИЯ ИЗОГИРЫ ВДОЛЬ ОСЕЙ КООРДИНАТ
ПРИ ВРАЩЕНИИ СТОЛИКА МИКРОСКОПА
THE LAWS OF MOTION OF ISOGYRE ALONG THE X- AND Y-AXES
BY ROTATING THE MICROSCOPE STAGE


Как было показано в статье Уравнение изогиры для координатных осей, положение точек пересечения изогирой координатных осей определяется следующими формулами:

                   



                   


где a1, b1 - координаты оптической оси A1 на гномонической проекции в стандартной позиции оптических осей;
a2, b2 - координаты оптической оси A2 на гномонической проекции в стандартной позиции оптических осей;
ω - угол поворота столика микроскопа, отсчитанный от стандартной позиции.
Для сокращения записи формул принимаем
a1 + a2 = a,
b1 + b2 = b,
b1b2 - a1a2 = c,
после чего формулы (1) и (2) будут иметь следующий вид:


                   (3)



                    (4)


Проверим формулу (3), в которой функцией является x, а аргументом угол поворота столика ω, на наличие экстремумов (максимумов и минимумов). Для этого берем производную функции, используя формулу производной дроби:

                   


После преобразования получим простое выражение производной, которое приравняем к нулю:
x' = b cos3ω + a sin3ω = 0.
Разделим каждый член этого выражения на cos3ω и заменим a и b их значениями:
b1 + b2 + (a1 + a2) tg ω = 0,
откуда найдем


                    (5)


Проверка показала, что рассчитанному по этой формуле значению ω соответствует максимум функции.
Аналогичным образом из (4) получена формула для расчета угла поворота столика ω, которому соответствует максимум для оси Y:

                    (6)


Принимая во внимание известную формулу tg (α - 180°) = tg α, можно предполагать присутствие еще двух экстремальных точек с ω = ωx - 180° и ω = ωy - 180°. Этим точкам соответствуют минимумы функции.

Разрывы функции . Чтобы определить угол ωxrz поворота столика, при котором функция испытывает разрыв, нужно знаменатель в формуле (1) приравнять к нулю:
cos ω (b1+b2) - sin ω (a1 + a2) = 0.
После деления на cos ω получим
b1 + b2 - tg ω (a1 + a2) = 0
и далее

                    (7)

Аналогичным способом для оси Y найдем

                    (8)


Графическое представление движения изогиры по координатным осям. Для наглядного изображения поведения изогиры при вращении столика составлен график ρ x,y - ω (рис. 1). Для его построения использованы координаты оптических осей из примера в статье "Уравнение изогиры для координатных осей":
сферические координаты
ρ1 = 35°,
λ1 = 60°,
ρ2 = 50°,
λ2 = 120°;
гномонические координаты
a1 = 0,3501,
b1 = 0.6064,
a2 = -0.5959,
b2 = 1,0321.
Рис.1. График движения изогиры по координатным осям. Пояснения к обозначениям в тексте.

На графике по горизонтали отложены углы поворота столика ω от 0 до 180° (поворот столика по часовой стрелке) и от 0 до -180° (поворот против часовой стрелки). Таким образом, график охватывает полный поворот столика на 360°.
По вертикали отложены полярные углы ρx и ρy, представляющие собой угловые расстояния от точки пересечения изогирой соответствующей координатной оси до центра поля зрения. Их значения колеблются от -90° до 90°.
Расстояния x и y для точек пересечения изогирой осей координат рассчитаны по формулам (1) и (2). Затем x и y через обратную тригонометрическую функцию arctg пересчитывались в угловые величины ρx и ρy.
На графике сплошной кривой линией показано движение изогиры по оси X, пунктирной линией - по оси Y.
Двумя горизонтальными линиями с косой штриховкой ограничено поле зрения коноскопа с ρk = 30° (штрихи направлены в сторону, недоступную для наблюдения). Эти линии соответствуют меткам Mx, My (верхняя линия) и M-x, M-y (нижняя линия). (Подробнее о метках см. здесь).
Вертикальные штрих-пунктирные линии указывают на места разрыва функции - углы поворота столика, при которых изогира скачкообразно "перепрыгивает" с отрицательного конца на положительный конец координатной оси.

Под графиком расположена карта, в которую вписаны данные о местоположении характерных точек кривых движения изогиры по координатным осям.

1. ωMax и ωMin - экстремальные точки (минимумы и максимумы функций). Рассчитаны по формулам (5) и (6). Каждый тип кривой имеет один максимум и один минимум, разность углов ω поворота столика для которых равна 180°.

2. ωrz - точки разрыва функции. Всего на графике 4 таких точек. Они повторяются с периодичностью 90°. Расчет ωrz производился по формулам (7) и (8).

3. ωkr - углы поворота столика, при которых изогира образует крест. В статье было показано, что изогира образует два типа крестов: ближние, расположенные, как следует из их названия, ближе к центру поля зрения, и дальние. Первые помечены на графике прямыми крестиками, вторые - косыми крестиками. Ближние кресты могут присутствовать или отсутствовать в поле зрения, дальние кресты всегда находятся вне поля зрения. Каждый из этих типов крестов при вращении столика на 360° повторяется через 90° и, таким образом, при полном повороте столика на 360° фигура креста образуется 8 раз.

4. ωx, ω-x, ωy, ω-y - углы поворота столика, при которых изогира совмещается с метками соответственно Mx, M-x, My, M-y, расположенными в точках пересечения координатных осей (нитей окулярного креста) с краем поля зрения. Эти углы могут быть определены графически по точкам пересечения кривой движения изогиры с линиями с косой штриховкой (см. рис.1), либо рассчитаны аналитически по специальной компьютерной программе.

График движения изогиры по оси X в интервале между двумя разрывами функции ω = -82,5° и 8,5°, представляет собой выпуклую асимметричную кривую с пологим левым и крутым правым бортами. Максимум кривой смещен вправо. Точно такой же вид имеет график для оси Y (пунктирная кривая), но он сдвинут влево на 90°. Кроме того, если мы внимательно рассмотрим график для оси X в интервале ω от -82,5° до -90° с продолжением от 180° до 98,5°, то можно видеть, что здесь кривая линия является двойным зеркальным отображением графика в интервале ω = -82,5° и 8,5°. Этот касается и графика движения изогиры по оси ω = -82,5° и 8,5°.
Таким образом мы приходим к выводу, что никакой новой информации участки кривой, находящиеся за пределами интервала ω = -82,5° и 8,5°, не несут. Иначе говоря, располагая кривой в этом интервале, мы можем без всяких расчетов воссоздать кривую за пределами интервала.
Рассмотренные особенности графиков практическое значение. В программе определения 2V по методу "засечек" предусмотрен контроль вводимых углов совмещения ωx и ω-x на их совместимость, основанный на запрете ввода однотипной информации. Этот запрет может быть пояснен следующим примером. В карте к графику (рис. 1) приведены следующие данные по углам совмещения изогиры с метками Mx и M-x:
ωx -87°   40°   78°   149°;
ω-x 93° -140° 102°   -31°.
В этих строках расположенные друг над другом углы отличаются ровно на 180°. Посмотрев на график, можно убедиться в том, что им соответствуют идентичные точки кривой, ввод в программу которых ведет к дублированию информации и невозможности расчета компьютерной программой координат оптических осей и угла 2V.

Пример анализа закономерностей движения изогиры по координатным осям. Для этой цели используем график (рис. 1) и программу "Компьютерное воспроизведение "нулевой" изогиры" для наглядного просмотра поведения изогиры при вращении столика. В эту программу нужно ввести сферические координаты оптических осей (см. выше) и максимальный угловой радиус поля зрения ρk=90°, чтобы увидеть полную коноскопическую картину. Для тех читателей, у которых по какой-либо причине отсутствует возможность воспользоваться указанной программой, прилагается рис. 2.


Рис. 2. "Нулевые" изогиры в косом сечении двуосного кристалла с 2V = 42° при различных углах ω поворота столика.
Полная ортогональная проекция (ρk = 90°). Цена делений на осях координат - 5°. A1 - ближняя оптическая ось;
A2 - дальняя оптическая ось.  Малая окружность внутри большога круга на рис. 2г,-е,-и - граница поля зрения.
Mx, M-x, My, M-y - метки в точках пересечения координатных осей (нитей окулярного креста) с краем поля зрения.


Проследим движение изогиры по оси X (сплошная кривая линия на графике) при вращении столика по часовой стрелке.

ω = 0°. Стандартная позиция оптических осей (рис. 2а). Ближняя ветвь изогиры проходит через центр поля зрения и, следовательно, пересекает обе координатные оси. Дальняя ветвь изогиры не пересекает осей координат, т. е. находится в "подвешенном" состоянии. Назовем эту коноскопическую фигуру по количеству пересечений координатных осей фигурой (20).
Примечание. В "юго-восточном" квадранте виден небольшой фрагмент изогиры, тесно прижатый к краю проекции. В статье "Уравнение изогиры …" он рассматривался в качестве самостоятельной третьей ветви изогиры. Если внимательно присмотреться, то можно заметить, что точкам дальней ветви, упирающимся в край проекции в СЗ квадранте, соответствуют концы рассматриваего фрагмента изогиры в противолежащем ЮВ квадранте. Их долготы (азимутальные углы) отличаются ровно на 180°. Следовательно, этот фрагмент нужно рассматривать как продолжение дальней ветви, которая, таким образом, является замкнутой криволинейной фигурой.

ω = 6,2°. Изогира образует дальний крест (рис. 2б). Дальнейший поворот приводит к распаду креста, после чего ранее "подвешенная" дальняя ветвь изогиры приобретет "опору" - будет пересекать ось Y, а ближняя ветвь "потеряет" эту ось и будет скользить по оси X. Обозначим эту фигуру по количеству пересечений ветвями изогиры как (11).

ω = 8,5°. В этой позиции столика происходит разрыв функции (рис. 2в). Это означает, что изогира скачкообразно сменит свое положение с отрицательного конца оси Y на положительный конец. При дальнешем повороте столика изогира, судя по крутизне кривой, будет сначала с умеренной скоростью, затем с замедлением двигаться к периферии поля зрения.

ω = 40°. Изогира достигла края поля зрения (малая окружность внутри большого круга на рис. 2г). Произошло ее совмещение с меткой Mx. При дальнейшем повороте столика изогира уходит из поля зрения. Приближаясь к максимуму, она снижает скорость перемещения по оси X до 0 (т. е. останавливается) и далее начинает обратное движение к центру поля зрения.

ω = 71,3°. Обе ветви изогиры соединяются и образуют ближний крест (рис. 2д). Распад креста приводит к перестройке структуры изогиры: ближняя ветвь будет снова пересекать обе координатные оси, а дальняя ветвь окажется "подвешенной". Произошло переформатирование фигуры по схеме (11)→(20)

ω = 78°. Изогира, двигаясь в обратном направлении, вновь совмещается с меткой Mx (рис. 2е) и продолжает свое движение к центру сначала с умеренной скоростью, затем с резким ускорением, что видно на рис. 1 по увеличению крутизны линии.

ω = 90°. Изогира достигает центра поля зрения (рис. 2ж). Коноскопическая картина идентична наблюдаемой в стандартной позиции с той лишь разницей, что она повернута на 90°.

А теперь будем вращать столик из стандартной позиции против часовой стрелки.

ω = -18,7°. В этой точке изогира, двигаясь с умеренной скоростью от центра налево, образует ближний крест, после распада которого ближняя ветвь теряяет свою "монополию" на обе координатные оси (рис. 2з). Теперь каждая из ветвей будет двигаться по своей координатной оси: ближняя ветвь по оси X, дальняя ветвь по оси Y. Произошло переформатирование коноскопической фигуры по схеме (20)→(11)

ω = -31°. Изогира, двигаясь по оси X с умеренной скоростью, достигает края поля зрения и, таким образом, происходит ее совмещение с меткой M-x (рис. 2и).

ω = -82,5°. Далее двигаясь с ускорением, изогира испытывает разрыв в этой точке, в результате которого она появляется на противоположном, положительном конце оси X (рис. 2к).

ω = -83,8°. Изогира образует дальний крест (рис. 2к). В этой позиции происходит переформатировани фигуры по схеме (11)→(20). Коноскопическая картина аналогична показанной на рис. 2б, отличаясь от нее лишь поворотом на 90°.

ω = -90°. Изогира достигает центра поля зрения (рис. 2л). Коноскопическая картина идентична наблюдаемой в стандартной позиции с той лишь разницей, что она повернута на 90° против часовой стрелки.

Выводы.
     1. Положение изогиры на координатных осях может быть рассчитано по формулам, учитывающим координаты оптических осей и угол поворота столика.
     2.При вращении столика по часовой стрелке из исходной стандартной позиции изогира перемещается по оси X слева направо и, не доходя до края проекции, останавливается и начинает обратное движение к центру поля зрения.
     3. При вращении столика против часовой стрелки из исходной стандартной позиции изогира перемещается по оси X справа налево, доходит до края проекции, затем совершает скачок на противоположный положительный конец оси X и далее продолжает движение к центру координат.
     4. При полном повороте столика на 360° изогира 8 раз образует фигуры креста.
     5. Установлены 2 типа коноскопических фигур, сменяющих друг друга при вращении столика:
          а) фигуры, в которых ближняя ветвь изогиры пересекает обе координатные оси, а дальняя ветвь образует замкнутую фигуру, не пересекающую осей координат;
          б) фигуры, в которых обе ветви изогиры пересекают по 1 координатной оси. Смена типов фигур (их переформатирование) происходит в момент распада крестов интерференционной фигуры 8 раз при поворте столика на 360°.


К началу страницы

На главную страницу


1. Дополнение к статье "Микроструктурный анализ…"
2. Как определить коноскопический угол объектива
3. Формулы для пересчета сферических и прямоугольных координат
Статьи
1. Вероятность появления в поле зрения коноскопа оптических осей
2. Диаграмма для определения больших углов оптических осей…
3. Градуировка коноскопа поляризационного микроскопа
4. Уравнение изогиры для координатных осей
6. Определение в коноскопе малых углов оптических осей
7. Определение в коноскопе угла оптических осей и ориентировки оптической индикатрисы кристаллов в косых сечениях
8. О возможности использования метода Малляра в косых сечениях кристаллов
Компьютерные программы
1. Расчет интенсивности белого света…

Руководство к программе
2. Расчет угла поворота столика…

Руководство к программе
3. Компьютерный определитель породообразующих минералов в шлифах

Руководство к Компьютерному определителю…
4. Расчет вероятности появления в поле зрения коноскопа оптических осей
5. Пересчет сферических и прямоугольных координат
6. Расчет угла 2V в сечениях кристаллов, в которых изогира образует крест

Руководство к программе …